第 1 章 本书的内容及阅读方法

第 1 章 本书的内容及阅读方法

1.1 “练习”与“问题”

这是一本介绍解决数学问题方法的书,我们假定本书的读者为以下三类人:

  • 喜欢数学;
  • 已经很好地掌握了高中数学的内容,并且至少已经初步学习了高等数学的内容,如微积分和线性代数;
  • 希望进一步提高解决数学问题的能力。

首先,什么是“问题”?我们需要将“练习”与“问题”区分清楚。“练习”是你理解且可以立即解决的问题,练习的解答是否正确取决于你对特定技巧掌握的熟练程度,但你却从不用去琢磨究竟应使用何种技巧。相反,“问题”是需要做深入思考和丰富资料收集才能找到正确方法的题目。例如,下面是一道练习。

例 1.1.1 请不使用计算器计算 5436^3

毫无疑问,你知道如何计算——只要仔细地连乘两次就可以了。而下面这个问题则深奥得多。

例 1.1.2 将

{1\over1\times2}+{1\over 2\times3}+{1\over3\times4}+\cdots+{1\over 99\times100}

表示成最简分数形式。

乍一看,这只不过又是一个毫无新意的练习题,因为你可能认为只要将所有的99项加起来就可以得到正确答案了。但是你稍微观察一下题目就会发现一个很有趣的现象,我们首先将前几项加总化简后发现:

\begin{align*}{1\over1\times2}+{1\over 2\times3}&={2\over 3},\\ {1\over1\times2}+{1\over 2\times3}+{1\over3\times4}&={3\over4},\\ {1\over1\times2}+{1\over 2\times3}+{1\over3\times4}+{1\over4\times5}&={4\over5},\end{align*}

因此,可以猜测:对于所有的正整数n

{1\over1\times2}+{1\over 2\times3}+{1\over3\times4}+\cdots +{1\over n(n+1)}={n\over n+1}.

这样,就提出了一个“问题”:这个猜测是否正确?如果是,又该如何证明

如果你曾经做过类似的问题,并会应用数学归纳法(参见第 43 页),那么这一题对于你来讲也仅仅是一个“练习”而已了。但如果我们从没见过这类题型,那么这一题对我们来说就是一个“问题”而不是“练习”了。我们可能就需要花大量的时间尝试不同的方法来解决该问题,问题越难,需要花的时间越多,第一次尝试通常会失败,而有时多次尝试都会失败。

下面这个例子是非常有名的“户口调查员问题”。少数人认为这是个“练习”,对于大多数人来说,这是个“问题”。

例 1.1.3 一个户口调查员敲开一户人家的门,并询问屋内的妇女有几个小孩,孩子们都多大了。

该妇女答道:“我有三个女儿,她们的年龄都是整数,并且她们年龄的乘积等于36。”

“这些信息还不够算出你女儿的年龄。”户口调查员回答道。

“我就是告诉你她们年龄的总和,你还是不能算出她们的年龄。”

“我希望你能告诉我更多的信息。”

“好吧,我大女儿安妮喜欢狗!”

请问:从这段对话中,户口调查员能计算出该妇女三个女儿的年龄吗?

初看这个题目,觉得要想得到答案似乎是不可能的,因为题目中好像没有提供足够的信息来解决问题。这就是为什么我们认为这是一个“问题”,但这个问题的确很有趣。(如果你仍旧比较迷惑,可以看本章结尾处第 11 页的答案。)

如果你认为户口调查员问题太简单,那么请看下一题(答案见第 71 页)。

例 1.1.4 有一次,我请了10对夫妇来我家参加宴会,我问所有参加宴会的人(包括我妻子在内)他们和多少人握过手,结果得知每个人的握手次数都不相同,当然我没有问自己。假定没有人与自己的配偶握手,也不考虑每个人自己同自己握手,那么请问我妻子与多少人握过手?(我没有问自己任何问题。)

一个好的问题应该是神秘而有趣的。它之所以神秘是因为一开始你并不知道如何解决它,如果一个问题缺乏趣味性,你就不会愿意去思考,但如果问题非常有趣的话,你一定会愿意花费时间和精力去解决它。

这本书将有助于你去分析和解决问题!如果你缺乏解决问题的经验,那么碰到一个难题时,你会很快放弃努力,这是因为:

  • 也许你根本就不知道该从何着手;
  • 也许你已经做了些初步工作,但不知道该如何继续;
  • 也许你试过一些方法但都失败了,于是你放弃了。

相反,一个有经验的解题者,则知道怎样入手,他或者她1会非常有信心地用各种方法来分析问题,虽然他使用的某些方法不一定能解决问题,但至少能得到一些结果。最终,在花费了一定的时间之后,他终于解决了问题。概括地说,一个有解决问题经验的人会从如下三个不同的层次考虑问题:

1后面的章节我们将避免使用“他或者她”,而是随机选择性别。

  • 战略层次:掌握如何入手并分析问题的数学思想与心理策略;
  • 战术层次:掌握解决问题的不同阶段所使用的数学方法;
  • 工具层次:对特定的情形,注重特定的技巧和“窍门”。

1.2 解决问题的三个层次

很多数学分支都有悠久的历史,并形成了一套自己的数学符号和语言。但解决问题并没有固定的模式和套路。2在这里,我们使用战略战术工具这三个词来诠释解决问题的三个不同层次。这三个词并没有标准的定义,因此准确理解它们的含义就显得非常重要。

2事实上,解决问题的理论都没有统一标准的名称,乔治·波利亚和一些专家曾使用“探索法”这一术语(例如,见文献 [24])。

登山的策略

当你站在山脚下观察如何登山时,第一步要考虑的战略就是先登上这座山旁边的几座小山,从不同的角度观察你所要爬的山。然后,你可能会考虑一个更具体的战略,或许可以尝试通过一个特定的山脊来登山。接下来就要考虑一些战术问题了,即怎样切实有效地执行战略。比如,你所选定的线路是从山的南面登山,但途中有一片雪地和一条河流,那么你就需要制定不同的战术来战胜这些阻碍。比如说越过雪地,你可以选择早晨雪地最硬的时候通过。而要渡河,则需要在河岸边观察最安全的渡河地点。最后,我们需要考虑与登山最直接相关的技术问题,即完成特定的任务所需要具备的特定技能——工具。比如,要想通过雪地,我们需要装备安全带和凿冰斧。要渡过河流则需要用绳子绑在你的腰上,再由同伴在河岸边拉着你,使你能在河水冲击下保持平衡,这些都是特定的工具技术。你不能因此总结说登山只需要安全带、凿冰斧,与同伴相互搀扶就可以了。虽然这些是必要的,但只是你登山的一小部分工作而已。相反,需要总结的是你的战略思想,有时也包括一些战术思想。例如你可以这样总结:我们决定从南面登山,途中需要越过一片很难通过的雪地和一条危险的河流才能到达山脊。

我们登山时遇到的阻碍,有一些比较容易解决,就像是你做练习题似的(当然,这也需要取决于登山者的能力和经验)。但是有些阻碍则很难解决,一旦解决则整个登山过程就非常顺利了。例如,所选择的登山路径大部分都比较容易攀登,但有一段大概 3 米长的路径则非常陡峭光滑很难通过。登山者通常把这种最关键的阻碍称为“关键点”。我们也可以把这个词用在解决数学问题上。在战略、战术、工具三个层次中都可能有关键点,有些问题有几个关键点,许多问题没有关键点。

从登山到数学

我们将解决数学问题的思想和登山的策略做个比较。拿到问题,你不一定能马上解决,要不然就不能称之为问题,而只是个练习题了。首先你要有一个对题目进行分析的过程,这种分析有很多方式。最糟糕的方式是随意地用你能想到的各种方法进行试验。如果你的想象力足够丰富且掌握的方法很多,通过花费大量时间,也许最终能解决问题。但作为一个初学者,最好还是要培养自己形成一套系统的解决问题的思维方法。首先要从战略上进行思考,不要想着马上就能解决问题,而是在一个不那么专注的层面上思考问题。从战略上思考的目的就是得到这样一个计划:它可能几乎没有数学内容,但能够帮助我们解题,这正如登山的战略:“如果我们到达了南坡,我们好像就能到达山顶。”

战略上的思考有助于我们开始解决问题并继续做下去,但这只是我们需要做的实际工作的提纲,具体的工作就是如何从战术和工具两个层次来完成既定战略。

我们通过下面的例子(1926 年匈牙利竞赛题)来说明如何从三个层次来解决问题。

例 1.2.1 证明四个连续的自然数的乘积不可能是整数的平方。

解答 首先让我们从战略上理解题目的意思,即如何着手。我们知道这是一道证明题。问题通常有两种类型——证明题和解答题。户口调查员问题(例 1.1.3)就是后一类解答题。

接下来,通过观察我们发现问题要求证明某一结果不会发生。我们将问题分成假设(也称为“条件”)和结论(无论是哪种类型的问题都可以这样分)。这个问题的条件是:

n 是一个自然数。

结论为:

n(n+1)(n+2)(n+3) 不可能是某一整数的平方。

将问题的条件和结论明确地叙述出来是非常有必要的,因为在很多问题中,条件和结论并不是显而易见的。在这里我们将引进一些符号,有时对符号的选择非常关键。

也许你会将注意力集中在结论上:怎样才能够使某一个整数不是平方数?这是一种战略思考,即考虑马上能直接得到结论的前提条件,我们称之为倒推法。但你会发现,我们很难找到一个标准来表达某一个数不是一个平方数,所以我们需要考虑另一战略。对任何问题,入题最好的一种战略是化抽象为具体。解决问题最好的习惯就是把思考过程记在稿纸上。我们尝试着代入几个具体的数,也许可以从中发现某些规律。让我们给 n 设定几个不同的值,令 f(n)=n(n+1)(n+2)(n+3),见下表 f(n) 的值。

1234510
24120360840168017 160

你注意到了什么?问题中提到平方数,所以我们观察表格中是否有平方数,我想大家都会发现表中 f(n) 的前两个值都是某一整数的平方减 1,接着验算发现:

f(3)=19^2-1,\quad f(4)= 29^2-1,\quad f(5)=41^2-1,\quad f(10)=131^2-1.

我们大胆地猜测:对任意自然数 nf(n) 都为某一个整数的平方减 1。证明这一猜想就是我们所要寻找的倒数第二步。因为任何等于某一整数的平方减 1 的正整数不可能是另一整数的平方。既然 1, 4, 9, 16 等平方数中不包含连续整数(平方数与平方数之间的差值越来越大),因此我们新的战略就是证明这一猜想。

为实现这一战略,我们还需要从战术和工具层面考虑问题,我们希望能证明对所有的 nn(n+1)(n+2)(n+3) 的乘积都是某一个整数的平方减 1,即 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 是某一个整数的平方。但用什么代数式表示这一平方数呢?这样,就需要从战术上考虑表达式的形式。我们要熟练掌握这种表达式,要时刻记住我们的目标是要得到一个平方数,注意到 nn+3 的乘积与 n+1n+2 的乘积几乎相等,其中前面两项的乘积为 n^2+3n。重新组织这个表达式,有:

我们不把括号中的两项相乘,而是将其凑成平方差公式:

(n^2+3n)(n^2+3n+2) + 1 = \left((n^2+3n+1) - 1\right)\left((n^2+3n+1)+1\right) +1.

现在我们使用平方差公式工具得到:

\begin{align*}\left((n^2+3n+1)-1\right)\left((n^2+3n+1)+1\right)+1&=(n^2+3n+1)^2-1+1\\&=(n^2+3n+1)^2.\end{align*}

这样对于所有的 n,将 f(n) 表达为某一整数的平方减 1 的形式,即:

f(n) =(n^2+3n+1)^2 - 1.

这样我们就完成了证明。■

我们再回过头从解决问题的三个层次来分析这个问题,开始的战略是定位,仔细阅读问题并确定该问题属于哪一类型,然后利用倒推法分析答案的倒数第二步以决定解题的战略,开始,我们并没有成功。接着我们是通过代入数值进行验算然后对结果进行猜测的。但要想证明这一猜测还需要一些战术和工具,如交换连乘项的次序、凑成平方差公式等。

解决问题最重要的是战略层次的思考,在这一题中提出上述猜测是解题的关键。从这点而言“问题”就已经转化为“练习”了!但熟练地使用战术也是很重要的,否则你仍旧很难解决问题。该题的另一解法为替代法:在式 (1.2.1) 中令 u= n^2+3n,则上式的右边变成 u(u+2)+1=u^2+2u+1=(u+1)^2。第三种解法是全部乘出来,有:

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^4+ 6n^3+11n^2+6n + 1.

如果该式是某一整数的平方,则一定是二次多项式 n^2+an+1n^2+an-1 的平方,将第一个多项式代入,有:

n^4+ 6n^3+11n^2+6n + 1= (n^2+an + 1)^2 = n^4+2an^3 + (a^2+2)n^2 + 2an +1,

可得 a=3 满足该式。因此 n(n+1)(n+2)(n+3)+1= (n^2+3n+1)^2。该方法虽然没有第一种方法优雅,但仍是个很不错的方法,因为该方法使用了一个非常有用的数学工具——待定系数法

1.3 题型

本书所列问题主要分为三大类:趣味题竞赛题开放性问题。每一大类又包含两种题型:解答题和证明题3。解答题要求我们找到特定的信息,而证明题则要求证明某一更普遍的结论。有时两者之间的差别并不明显。例如,例 1.1.4 是一个解答题,但也可作为证明题。

3这两个名词由乔治·波利亚命名(见文献 [24])。

下面是各个类型的例题。

趣味题

这一类型的题也称为“脑筋急转弯”,通常极少涉及正式的数学逻辑,而是需要对基本的解题战略进行创造性的应用。做趣味题对人很有益,这类题不需要你掌握特定的基础知识,但花时间去思考这类题有助你以后解决更复杂的数学问题。户口调查员问题(例 1.1.3)是这类题中非常典型的例子。关于这一类题,马丁·加德纳多年来在《科学美国人》杂志4上主持的“数学游戏”专栏非常经典,其中很多已编辑成书,其中最经典的两本书是文献 [8] 和 [9]。

4美国科普杂志,始于1845 年 8 月,起先是每周出版,后改为每月出版。2006 年1 月,与《科学美国人》(Scientific American)版权合作的简体中文月刊《环球科学》创刊。 ——译者注

题 1.3.1 一个和尚爬山,他早晨 8 点钟出发,中午时到达山顶,并在山顶上过了一夜。第二天早晨,他从 8 点钟开始按昨天上山时的路径下山,中午到达山脚。证明在8 点和12 点之间必有某一时刻,这个和尚在上下山途中到达同一地点。(注意题中并没有要求和尚以什么样的速度行走,比如,他可以开始时以每小时4 公里的速度行走,然后坐下休息,再往回走,等等,也不要求和尚上下山的速度相同。)

题 1.3.2 你在一楼大厅,该大厅到二楼的楼梯口处有三个电灯开关,其中一个控制着楼上的一盏灯,现假设该灯是关闭的,请从这三个开关中找到控制该灯的开关,只允许你上楼一次,你将怎样做?(没有想象出来的灯绳及望远镜等,楼下看不到楼上是否开灯,这盏灯是标准的100 瓦。)

题 1.3.3 某人从家中出发朝南走1 公里,然后朝东走 1 公里,再朝北走 1 公里,这时刚好回到家!请问他家在什么方位?本问题不止一种解法,请找出尽可能多的答案。

竞赛题

竞赛题是为有时间限制的正式考试所编写的,其解答通常需要特定的数学工具和灵活的头脑。高中和大学阶段的考试中就有复杂而有趣的数学竞赛,以下是适合美国高中水平和大学水平的各种数学竞赛。

全美高中数学竞赛(AHSME) 每年全美高中数以千计的在校学生可自由报名参加该项赛事,该项多项选择型比赛的题目与SAT的题目有着类似的难度和趣味性。5

5最近这项赛事已经由专门针对不同年级的 AMC-8、AMC-10、AMC-12 代替。

全美数学邀请赛(AIME) 该项赛事只邀请 AHSME 比赛中成绩前两千名左右的学生参加,用时 3 小时,共有 15 道题。AHSME 和 AIME 所设置的问题都是解答题,由机器判分。

美国数学奥林匹克竞赛(USAMO) 该项赛事邀请 AIME 比赛中成绩前 150 名的学生参加,比赛时间为三个半小时,共 5 道题,题目较难,题型主要是证明题。6

6现在有一个年轻学生的赛事,美国少年数学奥林匹克竞赛(USAJMO)。

美洲地区数学联盟(ARML) 每年,美洲数学联盟都会组织美洲地区各国家的中学组队参加比赛。其所设置的问题非常具有挑战性且充满趣味性。其难度媲美 AHSME 和 AIME 中的难题和 USAMO 中的简单题。

其他国家和地区奥林匹克竞赛 其他很多国家都设置有类似高难度的数学比赛,特别是东欧地区国家有这方面的传统。最近几年中国和越南也设置了既有创新性又具有挑战性的竞赛。

国际数学奥林匹克竞赛(IMO) USAMO 比赛成绩最好的选手将会受邀参加训练营,并从中挑选六人组队,代表美国参加这项国际比赛,比赛共六道题,赛时为 9 小时,分两天进行。7该项赛事开始于1959 年,每年在不同的国家举行。起初只局限于社会主义国家,但最近有更多的国家参与到这一比赛中,1996 年就有 75 个国家率队参加。

7自1996 年开始,USAMO 也采用类似的比赛方式:共六题,在两天的时间内完成。

普特南数学竞赛 该项比赛是美国在校大学生参加的最重要的数学竞赛。比赛时间为 6 个小时,共 12 个问题,每年的 12 月举行,数千名学生参加比赛,大部分选手的得分是零分。

各杂志上刊登的问题 很多杂志都设置有问题版面,邀请读者参与求解,并将求解方法和解题者姓名刊登出来。很多问题非常困难,有些问题甚至很多年都没有被解决。按照难度递增的顺序,刊登数学问题的杂志主要有Math HorizonsThe College Mathematics JournalMathematics MagazineThe American Mathematical Monthly。所有这些杂志都由美国数学协会出版。还有杂志甚至完全用来刊登趣味数学问题和问题的解,比如加拿大数学协会出版的《数学难题》。

一般竞赛问题都非常具有挑战性,就算没有时间限制,解决这些问题也是很困难的。下面列出了各种难度的问题。

题 1.3.4 (AHSME 1996) 直角坐标系中,在不通过圆 (x-6)^2 +(y-8)^2 =25 连接点 (0,0) 和点 (12,16) 的所有路径中,最短路径长度为多少?

题 1.3.5 (AHSME 1996) 给定条件 x^2+y^2=14x+6y+6,求 3x+4y 的最大值。

题 1.3.6 (AHSME 1994) 掷 n 个骰子,其点数之和等于 1994 的概率大于零,且与得到点数之和等于 S 的概率相等,问 S 的最小值为多少?

题 1.3.7 (AIME 1994) 求正整数 n,使得 \lfloor\log_2 1\rfloor + \lfloor\log_2 2\rfloor + \cdots + \lfloor\log_2 n \rfloor = 1994,其中 \lfloor x \rfloor 表示小于等于 x 的最大整数(例如,\lfloor\pi\rfloor=3)。

题 1.3.8 (AIME 1994) 对任意的实数数列 A = (a_1, a_2, a_3, \ldots),定义数列 \Delta A=(a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3, \ldots),其中第 n 项为 a_{n+1}-a_n,假设 \Delta(\Delta A) 的每一项都是 1,并且 a_{19} = a_{94} = 0,求 a_1

题 1.3.9 (USAMO 1989) 网球俱乐部的 20 名会员安排了 14 场 1 对 1 比赛,每名会员至少参加一场比赛。证明:在这个赛程里,存在 6 场比赛,参加的会员是 12 个不同的人。

题 1.3.10 (USAMO 1995) 现有一台损坏的计算器,除 \sin,~\cos,~\tan,~\sin^{-1},~\cos^{-1}~\tan^{-1} 键外其他键都已失灵,屏幕显示初始值为 0,任意给定正有理数 q,假设计算器能精确地计算实数,且所有函数都用弧度表示。证明通过有限次按键盘上的有效键可得到 q

题 1.3.11 (IMO 1976) 求和等于 1976 的若干正整数的乘积的最大值,并证明之。

题 1.3.12 (俄罗斯 1996) 回文是顺读和倒读都一样的数或单词,例如 176671 和 civic。对于某个 n>1,把从1 到 n 的数依次写下来,得到的数会是回文吗?

题 1.3.13 (普特南 1994) 令 (a_n) 为正实数序列,且满足 a_n \leqslant a_{2n} + a_{2n+1} ,请证明:级数 \sum\nolimits_{n=1}^{\infty} a_n 发散。

题 1.3.14 (普特南 1994) 求正实数 m,使第一象限内由椭圆 x^2/9+y^2=1x 轴以及直线 y=2x/3 围成的区域面积与第一象限内由椭圆 x^2/9+y^2=1y 轴以及直线 y=mx 围成的区域面积相等。

题 1.3.15 (普特南 1990) 有一只打孔机能够将二维平面(例如纸面)上任何一点作为中心点,并且每使用一次就会恰好去除平面中所有与中心点距离为无理数的点。如果要将平面中所有点都去除,需要操作多少次?

开放题

有些开放型的数学问题用词模糊,并没有唯一确定的答案(这与上述的两类问题不同)。这类开放型问题的解题过程非常有趣,因为一开始你并不知道会得到什么样的结果。解一个有意思的开放题就像是一次在未知区域的远足(或探险活动),因为通常你所得到的只是部分结果(当然,尽管正式比赛的问题已经有了全部的结果,如果能得到部分结果也已经非常难得)。

题 1.3.16 下面是帕斯卡三角8的前几行

8也称为“贾宪三角”或“杨辉三角”。 ——译者注

\begin{matrix}&&&&&1\\&&&&1&&1\\&&&1&&2&&1\\&&1&&3&&3&&1\\&1&&4&&6&&4&&1\\1&&5&&10&&10&&5&&1,\\\end{matrix}

其中每一行中的元素都是上一行两个相邻元素之和,比如 10=4+6,则该三角的下一行是:

1,~6,~15,~20,~15,~6,~1.

实际上,在帕斯卡三角中还有很多有趣的关系式,请尽可能多地找出并证明这些关系式。特别是,你能否从帕斯卡三角中提取出斐波那契数列(见下一题),或从斐波那契数列得到帕斯卡三角?另问:帕斯卡三角中元素的奇偶性是否有规律?

题 1.3.17 斐波那契数列 f_n 定义为 f_0=0, f_1=1f_n=f_{n-1}+f_{n-2}~(n>1),例如,f_2=1, f_3=2, f_4=3, f_5=5, f_6=8, f_7=13, f_8=21。请以此类推,找到尽可能多的类似数列,并证明你的猜测。特别有趣的是:当 n \geqslant 0 时,

f_n = {1 \over \sqrt{5}} \left{ \left( {1 + \sqrt{5} \over 2} \right)^n-\left( {1-\sqrt{5} \over 2} \right)^n \right\}.

请用数学归纳法(见第 43-48 页)证明这一结论,见题 2.3.32。请问如何得到这一结论?并思考能否从斐波那契数列中得到其他结论。

题 1.3.18 有一种砖块为L 型,由三个边长等于 1的正方形组成,其形状如下:

{%}

问:对于什么样的正整数 a,b 才能由这种砖块平铺成 a \times b 的矩形?(“平铺”意味着我们完全用 L 型覆盖矩形,没有重叠。)比如说,可以用这种砖块平铺成 2\times 3 的矩形,但无法平铺成边长为 3 的正方形(试一试)。在你理解了矩形之后,向两个方向推广:用L 型平铺成更复杂的形状,用L 型以外的东西进行平铺。

题 1.3.19 现有一个 1\times L 的矩形,其中 L 为正整数。很显然,这个矩形中可以放入 L 个直径为 1 的圆,并且无法放入更多的圆了(所谓“放入”是指可以接触,但不允许重叠)。但不能因此类推最多可将 2L 个圆放入 2\times L 的矩形中。请证明:若推广至一般的 m\times L 的矩形情况有何结果?

1.4 怎样阅读这本书

这本书并不需要从头到尾按顺序全部读完,而是以一种“非线性”的方式精读。本书主要是为了帮助大家学习两个方面的内容:解决问题的方法和特定的数学思想。通过阅读这本书,你将会逐步学到更多的数学知识,也将会对解决问题越来越熟练。你在某一个领域所取得的进步将会激励你在更多的领域获得成功。

本书分两个部分,并在中间用一章来衔接这两部分。第 1-3 章将会对解题的战略战术做概括性介绍。在每一节的开始,我们通过简单的例题来讨论特定的解题战略战术,但在结尾处则会是比较复杂的数学问题。某些部分涉及更多的数学知识需要更多的解题经验,读起来可能很难理解,所以你需要很仔细地阅读每一节的开始部分,然后略读(或跳过)后面很难的部分,等以后再重新阅读。

第 5-9 章将从战术和工具的层次讲述数学思想的运用。每一章分别讲述一个数学专题,并从解题者的观点出发展开讨论,你可以根据自己的兴趣和知识背景阅读一部分或全部内容。

第 4 章是衔接一般解题思想和特定数学应用问题的桥梁。这一章利用三个重要的战术思想将数学各分支有机地统一起来,其中部分内容相当高深,我们把它放在本书的前面是为了使读者能尽快了解在解题中广泛使用的复杂数学思想。

当你通过阅读第 5-9 章掌握更多的数学知识后,可能会回头再重新阅读第一部分所略读的内容;相反,当你读完第一部分内容,掌握更多的解题技巧后,也需要再重新阅读(或第一次阅读)第二部分的一些内容。要完全掌握这些技巧,你至少需要将本书内容认真阅读两遍,即使不自己求解书中的问题,至少也要认真看完每一题的求解。

书中出现新的术语和特定的解题战略、战术及工具名称都会用黑体标出。有时,

当从文中得到一个非常重要的结论,都会像这句话一样印成楷体字。

这样做是为了引起读者的注意。为标示问题解的完成,我们使用“哈尔莫斯标示符”,一种实心的正方形9,如例 1.2.1 结尾处(第 5 页)和本行结尾处的符号。■

9该符号是由数学家保罗·哈尔莫斯推广实行的。

阅读本书时手边要备有纸和笔,边读边在空白处做笔记。学习数学既需要兴趣,也需要耐心,当你阅读一个例题时,在看文中的解题过程前,请尝试着自己做一遍,至少也应该在读完题后自己先思考下,而不是迫不及待地去看答案。你的积极性越高,投入的精力越多,才能越快地掌握解决问题的技巧,并从本书中得到更多的快乐。

当然,书中有些问题是非常难的。在每一章(或每一节)的最后,我们会讨论一个非常“经典”的问题,对于初读本书的人来说,这些问题是很难在合理的时间内独立解决的。这样做主要有以下几个原因:一、可以通过这些问题阐明一些重要的数学思想;二、会解决这些问题也是年轻的数学爱好者所必备的基本技能之一;三、也是最重要的一点,这些问题的求解可以说是一项非常精美的艺术作品,值得仔细品鉴。这就是为什么我们将这本书取名为 The Art and Craft of Problem Solving,虽然本书花费很多的版面讲述解决问题的技巧,但我希望读者不要忘了解决问题的最高境界是要对解题充满激情,把它看作一项审美活动。打个不太恰当的比方,你可以把它看作学习即兴创作爵士钢琴曲的过程,要想创作出自己的曲子,首先需要得到别人的指导和启发,并从聆听前人创作的名曲中获得灵感。

户口调查员问题的解决方法

从她们年龄的乘积等于 36 可知,她们的年龄组合仅仅有几种可能性,下表是她们所有可能的年龄组合,其中表的第二行是三个人年龄的总和。

(1,1,36)(1,2,18)(1,3,12)(1,4,9)(1,6,6)(2,2,9)(2,3,6)(3,3,4)
3821161413131110

接下来我们再看看题目,这位母亲的第二句话(“我就是告诉你她们年龄的总和,你还是不能算出她们的年龄”)已经给出了非常有用的信息。这实际上告诉了我们,她们的年龄只可能是 (1,6,6) 或 (2,2,9),因为只有这两组才会使别人无法知道她们的年龄。这位母亲说的最后一句话也是有用的,通过这句话我们可知她有一个最大的女儿,因此就可以去掉(1,6,6)这一组,所以她的三个女儿分别为 2 岁、2 岁和 9 岁。■

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