《思考的乐趣:matrix67数学笔记》是网上著名数学狂人matrix67的作品,也是他为不那么喜欢数学的人准备的数学礼物。想要了解他以及他这本书的同学,请点这里

接下来为大家带来第一个样章。

第2章 数学之美

在数学发展的过程中,提出新的数学问题,开创新的数学领域,很多时候其最初的动机并不是解释生活中的现象,而是因为它本身的美妙。数学世界里究竟有什么精彩之处,让数学家如此疯狂?

2.1让你立刻爱上数学的8个算术游戏

文科背景的朋友们经常会问我一个问题:数学到底哪里有趣了,数学之美又在哪里?此时,我通常会讲一些简单而又深刻的算术游戏,让每一个只会算术的人都能或多或少体会到一些数学的美妙。如果你从小就被数学考试折磨,对数学一点好感都没有的话,相信这一节文字会改变你的看法。

1.数字黑洞

任意选一个四位数(数字不能全相同),把所有数字从大到小排列,再把所有数字从小到大排列,用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作,7步以内必然会得到6174。例如,选择四位数8080: 8800-0088=8712
8721-1278=7443
7443-3447=3996
9963-3699=6264
6642-2466=4176
7641-1467=6174
7641-1467=6174 ……
6174这个“黑洞”就叫做Kaprekar常数。对于三位数,也有一个数字黑洞——495。

2.特殊乘法的速算

如果两个两位数的十位相同,个位数相加为10,那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果把这两个数分别写作AB和AC,那么它们的乘积前两位就是A和A+1的乘积,后两位就是B和C的乘积。 比如,47和43的十位数相同,个位数之和为10,因而它们乘积的前两位就是4×(4+1)=20,后两位就是7×3=21 。也就是说,47×43=2021。
类似地,61×69=4209 ,86×84=7224 ,35×35=1225 ,等等。
这个速算方法成立的原因是(10x+y)(10x+(10-y))=100x(x+1) +y(10-y)对任意 x 和 y 都成立。

3.翻倍,再翻倍!

将123456789翻一倍,你会发现结果仍然是这9个数字的排列:

123456789×2= 246913578

我们再次将246913578翻倍,发现:

246913578×2=493827156

结果依旧包含了每个数字各一次。这仅仅是一个巧合吗?我们继续翻倍:

493827156×2=987654312

神奇啊,一个很有特点的数987654312,显然每个数字又只用了一次。

你或许会想,这下到头了吧,再翻倍就成10位数了。不过,请看:

987654312×2=1975308624

又包含了每个数字各一次,只不过这一次加上了数字0。再来?

1975308624×2=3950617248

恐怖了,又是每个数字各出现一次。

出现了这么多巧合之后我们开始怀疑,这并不是什么巧合,一定有什么简单的方法可以解释这种现象。 但是,下面的事实让问题更加复杂了。第6次翻倍后,虽然仍然是10位数,但偏偏就在这时发生了一次例外:

3950617248×2=7901234496

看来,寻找一个合理的解释,并不是一件轻而易举的事情。

4.唯一的解

经典数字谜题:用1到9组成一个九位数,使得这个数的第一位(从左边数起)能被1整除,前两位组成的两位数能被2整除,前三位组成的三位数能被3整除,以此类推,一直到整个九位数能被9整除。
没错,真的有这样猛的数:381654729。其中3能被1整除,38能被2整除,381能被3整除,一直到整个数能被9整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来,也能利用计算机编程找到。
另一个有趣的事实是,在所有由1到9组成的362880个不同的九位数中,381654729是唯一一个满足要求的数!

5.幻方之幻

“三阶幻方”是指把数字1到9填入的方格,使得每一行、每一列和两条对角线的三个数之和正好都相同。下面就是一个三阶幻方,每条直线上的三个数之和都等于15。
8 1 6
3 5 7
4 9 2
大家或许都听说过幻方这玩意儿,但不知道幻方中的一些美妙性质。例如,任意一个三阶幻方都满足:各行所组成的三位数的平方和,等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上面的三阶幻方,就有以下等式:

816²+357²+492²=618²+753²+294²

利用线性代数,我们可以证明这个结论。

6.一个小魔术

在一张纸上并排画11个小方格。叫你的好朋友背对着你(确保你看不到他在纸上写什么),在前两个方格中随便填两个1到10之间的数。从第三个方格开始,在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第10个方格里的数。假如你的朋友一开始填入方格的数是7和3,那么前10个方格里的数分别是:
7,3,10,13,23,36,59,95,154,249

现在,叫你的朋友报出第10个方格里的数,稍作计算你便能猜出第11个方格里的数应该是多少。你的朋友会非常惊奇地发现,把第11个方格里的数计算出来,所得的结果与你的预测一模一样!
其实,仅凭借第10个数来推测第11个数的方法非常简单,你需要做的仅仅是把第10个数乘以1.618,得到的乘积就是第11个数了。在上面的例子中,由于249×1.618=402.882=403 ,因此你可以胸有成竹地断定,第11个数就是403。而事实上,154与249相加就等于403。
其实,不管最初两个数是什么,按照这种方式加下去,相邻两数之比总会越来越趋近于1.618——这个数正是传说中的“黄金分割”。

7.三个神奇的分数

1/49化成小数后等于0.0204081632…,把小数点后的数字两位两位断开,前五个数依次是2、4、8、16、32,每个数正好都是前一个数的两倍。
1/9899等于0.01010203050813213455…,两位两位断开后,得到的正好是著名的Fibonacci数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … ,数列中的每一个数都是前两个数之和。
而100/9801 则等于0.01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23…

利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的产生原因。

8.天然形成的幻方

从 1/19到18/19 这18个分数的小数循环节长度都是18。像图2-2那样把这18个循环节排成一个18×18 的数字阵,这将恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是81。当然,严格来说这个图并不是幻方,因为它每行有相同的数字。 enter image description here

图2-2 1/19到18/19形成的幻方

2.2最折磨人的数学未解之谜

数学之美不但体现在漂亮的结论和精妙的证明上,那些尚未解决的数学问题也有让人神魂颠倒的魅力。和Goldbach猜想、Riemann假设不同,有些悬而未解的问题趣味性很强,“数学性”却非常弱,乍看上去并没有触及深刻的数学理论,似乎是一道可以瞬间秒杀的数学趣题,让数学爱好者们“不找到一个巧解就不爽”。但令人称奇的是,它们的困难程度却不亚于那些著名的数学猜想,这或许比各个领域中艰深的数学难题更折磨人吧。

1. 3x+1问题

从任意一个正整数开始,重复对其进行下面的操作:如果这个数是偶数,把它除以2;如果这个数是奇数,则把它扩大到原来的3倍后再加1。序列是否最终总会变成4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循环?
这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下,问题非常简单,突破口很多,于是数学家们纷纷往里面跳。殊不知进去容易出去难,不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数,这可以从 3x+1问题的各种别名看出来: 问题又叫Collatz猜想、Syracuse问题、Kakutani问题、Hasse算法、Ulam问题等等。后来,由于命名争议太大,干脆让谁都不沾光,直接叫做 3x+1问题算了。
3x+1问题不是一般的困难,下面举一个例子来说明它形成的数列收敛是多么没规律。从26开始算起,10步就掉入了“421陷阱”:
26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
但是,从27开始算起,数字会一路飙升到几千多,你很可能会一度认为它脱离了“421陷阱”。但是,经过上百步运算后,它还是跌了回来:
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

2.196问题

一个数正读反读都一样,我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数,不断加上把它反过来写之后得到的数,直到得出一个回文数为止。例如,所选的数是67,两步就可以得到一个回文数484:
67 + 76 = 143
143 + 341 = 484
把69变成一个回文数则需要四步:
69 + 96 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884
89的“回文数之路”则特别长,要到第24步才会得到第一个回文数:8813200023188。
大家或许会想,不断地“一正一反相加”,最后总能得到一个回文数,这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样——对于几乎所有的数,按照规则不断加下去,迟早会出现回文数。不过,196却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了3亿多位数,都没有产生过一次回文数。从196出发,究竟能否加出回文数来?196究竟特殊在哪儿?这至今仍是个谜。

3.Thrackle猜想

在纸上画一些点,再画一些点与点之间的连线,我们就把所得的图形叫做一个“图”。如果一个图的每根线条都与其他所有线条相交恰好一次(顶点处相接也算相交),这个图就叫做一个thrackle。图2-4显示的就是三个满足要求的thrackle,注意到它们的线条数量都没有超过顶点的数量。那么,是否存在线条数大于顶点数的thrackle?
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图2-4 一些典型的thrackle

这个问题是由英国数学家John Conway提出来的。这明显又是一个坑,看到这个问题谁都想试试,然后就纷纷崩溃掉。Conway悬赏1000美元征解,可见这个问题有多么不容易。目前已知的最好结果是,一个thrackle的线条数不会超过顶点数的 167/117倍。

4.Venn图并不简单

画惯了三个集合的Venn图,很多人都会认为,像图2-5右边那样把四个圆圈画成一朵花,就是四个集合的Venn图了。其实这是不对的——四个圆只能产生14个区域,而四个集合将会交出16种情况。如果把四个圆圈像图7右边那幅图一样排列,就少了两个区域:只属于左下角的圆和右上角的圆的区域,以及只属于左上角的圆和右下角的圆的区域。 enter image description here

图2-5 三集合与四集合的韦恩图

那么,是不是四个集合的Venn图就没法画了呢?也不是。如果你不是一个完美主义者,你可以像图2-6那样,把三个集合的Venn图扩展到四个集合;虽然看上去非常不美观,但是从拓扑学的角度来说,只要逻辑上正确无误,谁管它画得圆不圆呢。

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图2-6 四集合的韦恩图

大家会自然而然地想到一个问题:图2-6是否还能继续扩展成五个集合的Venn图呢?更一般地,是否随便什么样的 n个集合的Venn图都可以扩展到 (n+1)个集合呢? 令人难以置信的是,这个问题竟然还没被解决!事实上,对满足各种条件的Venn图的研究是一个经久不衰的话题,与Venn图相关的猜想绝不止这一个。